490
.pdfS. Розв'зати задачу.
5.1 П.1астина обмежена параболою/= 2рх і її хордою, яка проходить через фокус і
псрпенди.-'Жулярна осі симетрії парабо:ш. Знайти центр ваги пластини. якшо в кожній її точuі густина пропорuійна її ординаті.
5.2Знайти uентр ваги кр~т1ої п.1астини радіуса R, якщо густина її обернено проnорuіііна
відстані точки від центру.
5.3Визначити момент інерuії однорідного круга радіуса R ві.:Іносно дотичної.
5.4Знайти моменти інерції І,. І,. о;шорідної u:rастини. яка обмежена :rінією р = (1 +cos rp).
5.5 Знайти моменти інерuії Іх. 11 |
· п:rастини XJ'= а1, .).}' = 2а2 , х=2, х--4, якшо |
||||
- |
·- |
. |
1 |
|
|
густина в 11 |
КОЖНІИ ТОЧЦІ µ = --. |
|
|||
|
|
|
XJ' |
|
|
5. 6 Знайти координати пентру ваги фігури, яка обмежена лініями: у = -J2х- х2 , |
у::::О, |
||||
якшо rустина в її кожній тоwі |
µ |
= XJ'· |
|
5. 7 Знайти координати пентру ваги п.1оскої фіІ)·ри, яка обмежена лініями: і=х, у= х2,
якшо густина в її кожній точці µ =ху.
5.8 Знайти координати пентру ваги однорідної пластини, яка обмежена кривими: ау =х",
1
х +у= 2а (а>О), якшо rустина в її кожній то<щі µ = - .
. ху
5.9Знайти координати центру ваги пластини, яка обмежена :~інією: р = (l+cosrp).
5.10Обчис.1ити момент інерції площі фі!}рИ. обмеженої лініями у= 4х, х +у= З, у= О
відносно осі ОХ. якшо ІJ·стина в її кожній точці дорівнює відстані до початку координат.
|
|
|
|
|
1 |
у' |
|
}'=О, (.І';::>: О), якшо Г\.'стина в |
5.11 Знайти масу п.1астини. яка обмежена лініями ~ |
+- = 1, |
|||||||
|
|
|
|
|
9 |
25 .. |
||
... |
·- |
. |
. |
7 |
1 |
|
|
|
11 |
КОЖНІИ ТОЧЦІ доршнює 18 |
х у. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
х' |
у' |
|
5.12 Знайти масу пластини. яка обмсжєна лініями 1:::; 4 .+ |
2 =1, х ;::>:О, у;::>: О, якщо густина |
|||||||
в її кожній точuі |
µ |
= 8 ;Із' . |
|
|
|
|
||
5. 1З Знайти мас'' п:1астини. якаобмежена лінісю х' + L =І, |
якщоп-с·;·инавїїкожнійточпі |
|||||||
|
|
. |
|
|
4 |
2 |
|
. |
23
6. Обчис..·шти за допомогою потрійного інтеграла об"rм тіла. яке обмежене вказаними
поверхнями .lї.10 і його проекuію зобра.11пи на рисунку.
|
г; |
6.16 z =Зх ,у2 =2-х ,z =О: |
|||
6.1 |
;; =О.:: =2х .х +у =3 .х = {z ; |
||||
6.2 |
:: =О ,z =4 - х2 , х2 + у2 =4 ; |
6.17 |
:: = ".Jy .у =Зх ,х =2 ,z ~-fJ; |
||
6.3 |
z =4 - J'. х:' + у2 =4у ; |
6.18 |
z =/,у =2х.х =З ,z =О: |
||
6.4 |
: =О .х =О,у =О ,х +у =1 ,z = х2 + З./ : |
6.19 |
у =2х ,:: =/у ,у=З, х =О, z =О; |
||
6.5 |
z =О ,х =О ,у =О,::=./ +1 .х +у =1; |
6.20 |
z = х2 |
,у =2х ,х =4 ,у =O,z =О: |
|
6.6 |
z =О ,: = ,/1 - у , у = х ; |
6.21 |
х:' + у2 = 4 'у + : =2 • z =О ; |
||
6.7 |
z =О ,z = х2 ,2х - у =О ,х +у =9 ; |
6.22 |
• . |
2 |
|
х" +у |
=1, z = 2 -х -у ,z =О |
||||
6.8 |
z =О,:: =2 -х ,у= 2 ,r;, у= 114 х:' : |
6.23 |
z = у2 |
, х:' + у2 =9 .•z =О ; |
|
|
z =О .х =О,z = у2 ,2х + Зу =6; |
|
|
|
, ---- |
6.9 |
6.24 |
z =у ,z =О .х =О ,х =4 ,у =.У25-х2 ; |
|||
6.10 |
z =О .z =(х - 1/ ,у2 =х,· |
6.25 |
z =у2 |
,z =О , х =:О , х + у = 2 ; |
|
6.11 |
;: =х2,х +у =2 ,у =О ,z =О; |
6.26 |
z =1 -у2 у= іх' · |
||
|
z =х .х =,14- у1 , z =О; |
|
|
" |
І і' |
6.12 |
6.27 |
z =4 .,,j у , х +у =4 .х =О ,z =О; |
|||
|
~ |
|
|
r- |
|
6.13 |
х2 + у2 =9 .z =5 - х - J',z =О; |
6.28 |
z =1/4 /, х =О .х +у =!J ,z =О: |
||
6.14 |
:: = х2 + у2, х =О, у =О ,х +у =2 ,z =О: |
6.29 |
z = х2 + у2 ,у= х:' .у =1 ,z =О; |
||
6.15 |
z =2у ,у= ,'9--~"-і,: =О; |
6.30 |
z =4 - х:' -/ |
,х +у =2 ,х =О .у =О ,z=O; |
7.Обчислити криво,1інійюtй інтеграл.
7.1J (Зx:'y+J)dx+(i.::2 +2.)dy, вз;rовжпарабщиу=2.[; відА(О,О)доВ(l.2)
|
с |
, |
|
|
|
І |
2х |
|
|
7.2 |
(у· |
+ x)dx + --- dy, |
вздовж кривої у =ех від А(О,1) до B(l,e) |
|
|
с |
|
у |
|
7.3 |
J2у dx + (3х -.1~ dy, вз;ювж ларабо.1иу=Б відА( 1,1) до 8(4.2) |
с
7.4J~щ- +xdy .вздовж кривої у=lпхвідА(l,О)доВ(l,1)
|
сХ |
7.5 |
J (2ху2 -l)ydx + (Зх/ -+-5)xdy. ві~І Л(О,О) до В(2,4) 110 прямій 118 |
с
25
7.6 J(2х +3y)dx + xdy, в·щовж зліпсах =4cos rp ,у =3sin rp, обходячи його проти руху
с
годинникової стрі,1ки
7.7 J(-~ -2xy)dx + (2ху +y)dy, вздовж параболиу =х від A(l,l) до В(2,4)
|
с |
|
|
|
|
7.8 |
1" + І |
х2 - 2 1· |
2 |
. |
" |
-·-- dx - |
, · dy, ВІдА(l,2) до В(2,4) вздовж прямо1АВ |
||||
|
сJ х |
у· |
|
|
|
7.9J(х +;~dx + (2х -y)dy, вз,1овж колах =2cos rp ,у =2sin rp. обходячи його проти руху
|
(' |
годинникової стрілки . |
|
7.10 |
J (2х2 +J~dx + (і +x)dy, вздовж ломаної С =АВС, де A(l,2) ,B(l,5) ,С(3,5) |
|
с |
7.11 |
J(:! y-Jx)ydx + (х:і +2y)xdy. вздовж з,1іпсах =Зсоs t ,у =2sin І, обходя'Ш його |
|
с |
проти руху ГО,'\ИННИКОВОЇ стрілки ' |
|
7.12 |
Jxdy-xdx, вздовж АВС з верпшнамиА(-1,0) ,B(l,O) ,С(О,1), обходячи його проти |
с
руху годинникової стрілки ..
7.13 J(...! -y)dx - ( х-.1/ )dy, вздовж ломаної, яка складається з відрізків прямих х =З.у =2,
|
с |
|
відА(l,2) до В(3,5) , |
||
7.14 |
J(f +y)dx + (у1 +x)dy, відА(2,1) до В(5,3) вз;:х,овж ломаної ск,1аденої з відрізків |
|
|
с |
|
прямих х =5 ,у =1, |
||
7.15 |
Jxdy-ydx. вздовжверхньої половини зліпсах =acos t,y =asin t ,обходячи його |
|
|
с |
|
проти руху годинникової стрілки , |
||
7.16 |
J2ху3 dx+3 .х!y 2dy, вздовж любого шаяху, який з'є,:~нує A(l,2) і B(2,4j. |
|
|
с |
|
7.17 |
J 2xdy + ydx, де С-дуга параболи/ =х відА(l,1) до В(4,2) |
|
|
с |
|
7.18 |
J(v + x)dx + (2х - y)dy, вздовж параболиу =2х - х2 відА(І,1) до В(З,-3) . |
|
|
с |
|
7.19 |
J і dx + (xy-/Jdy, вздовж параболи/ =9х відА(О.0) до В(І,3). |
|
|
с |
|
7.20 |
J xdy -ydx ' ВЗJ.ОВЖ циклоїди х =a(t -sin І} від А(2 JШ,0).у =a(J -cos t)до В(О,О) |
|
|
с |
|
7.21 |
J xdy +ydx, С - коло радиуса R =1 с центром на початку координат. обходячи його |
|
|
(' |
|
|
проти руху годинникової стрілки . |
|
7.22 |
J 2xdy + ydx. де С-дуга парабо,1и/ =9х відА(О,О) до B(l,3). |
|
|
с |
|
7.23 |
Jydx + ~dy . вздовж ЧJИВОЇу =е·х відА(О,1) до В(-1,е) . |
|
|
с |
у |
7.24 |
J(...! +/Jdx + (х2 -y)fly, вздовж лініїу=! х І відА(-1,1) до В(2,2) |
|
|
с |
|
7.25 |
J (2x/-4Jdx +(З :.:2 /+2y)dy, по ,1юбому шляху відА(l,2) до В(4,-2). |
с
26
8.13 |
І--2у |
|
1-х |
|
|
|
|
|
|
--dx+---,--,dІ'; |
|
|
|
||||||
|
х2у2 |
|
х-у- . |
|
|
|
|
||
8.14 |
( |
|
2 |
' |
І |
|
|
2 \ |
!~\'; |
|
е-х --,-- Jdx +І sin3y- |
--,-, |
|||||||
|
l |
|
|
\ |
|
|
J.-x·; |
||
|
. |
ху) |
|
|
|||||
8.15 |
( |
1 |
', |
( |
2 |
2 \ |
|
|
|
І |
2XJ'---- ·dx~= х |
- |
-- ld1·• |
|
|||||
|
\. |
х' ) . |
~ |
|
у') |
. , |
|
8.28 |
'е-·- |
2 |
\ |
ldx |
|
( |
' |
2 |
1 |
·; |
|
+І |
sm 3y--,- 'dy; |
||||||
|
l |
х·у) |
|
~ |
|
у-х) |
|||
8.29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х2 |
+cas2x+x1·e' 0 |
' }іх+іу+ х' e··'yJdi· · |
|||||||
|
|
|
. |
|
|
1, |
2 |
) . ' |
В.ЗО ( 6Ат-: 2 }tн(зх2 +2у}іу;
9. Зніll\ти потік векторного по;~я Р .через трикутник ст, вирізаний і'.! площини Р координатними п,1ощинами. в тому напрямку, який )їворює з віссю OZ гострий кут.
Зробити рис~1юк, обчиспити дівеrенцію та ротор цього векторного по;~я F.
9.1F = - 4zi + (у -х +z)j + (Зх-7)k ,lx-y +2z -t-z =О;
9.2F = (х -'-у)і + (х -z)j +(2у -2z)k ,2х -Зу +2z ..,.6 =О;
9.3F = (х +у)-;: )і -2:.j + (х +7;;)k ,Зх +2у -z - 6 =О;
9.4F = (2у +;;)і +(х -y)j + (y-2z)k, х -у+ z +2 =О;
9.5 Т = (2z +у)і + (х + )~ j + (3х + z)k, х +у +2z -2 =О;
9.6Т =(у+ 2z)i + (х + 2z)j + (х -2у) k, 2х +у+ 2z =О;
9. 7 F = (х + z)i + (z - х) j + (х + 2у +z )k, 2х + 2у + z -2 =О;
9.8Р= (х + z)i + (2у + х )j + (х +y-;;)k, х +2y-z -2 =О;
9.9Р= ;;і+ (х +z)j + (у +z)k, Зх + Зу +z -3=0;
9.1 О Р = (х -z)s _,. (х +y)j + (.v -t- z)k , х +у + 2;; -4 =О:
9.ІІ F= (2z-x)s + (x-y)j + (3х + z)k ,х +у +2z -2 =О;
9.12F= 4zi + (x-y-z)j + (3у + z)k ,х-2у + 2z-z =О;
9.13F= (.J· -;;)і_,_ (2х + y)j + (."С +у+ z)k, 2х +у +z -2 =О;
9.14F= (x-2z)i + (.1· -2::.)j + (2х -у +2z)k, -x-t-2y +2;; -2 =О;
9.15F = (2х - z) і+ (у -x)j +(х -'-2z)k , х -у +z -2 =О ;
9.16 F = (2;; +х)і +(х -3z)j + CJ,· +;;)k ,- Зх + 2у -'-4z -6 =О:
9.J 7 Р = (х +у)і +(1' +z)j +(2х +2z)k ,Зх -ly +lz -6 =О:
9.18F = (х +у +;;)s + 2:J + (у - 7;.)k ,lx +3у -z -6 =О ;
28
9,JIJ |
F = 4zi + (х -y-z)j + (Зу +2:.:)k, -2х ;-у +z -4 =О; |
9 20 |
Т = (2z -х)і + (х т 2:)j-'- Зzk, х - 4у -~z -4 =О; |
IJ.21 |
}" = (Jz -у )і+ (х +у -::.)j -2:.:k, х -су+:.: -2 =О; |
9.22f' = (х +у -::.)і+ (2у -z )j + (z-y)k, х -т-у +z -2 =О;
9.23F = (.< +y-zJi + (2у -::.)j + 4zk, х -2у +2z -4 =О;
9.24Т =(І· -2z)i + (z -y)j + (3z -2y)k, 2х -Jy +4z -12 =О;
9.25F = (х -у)і + (y-z)j +(z -x)k ,2х +у +2z -4 =О;
9.26F = (3х -2у -rx )і+ 6'-2z)j + (х -ry -r;:)k, х -3у +:.: +3 =О; 9.2ї F = 2zi + {х +y-z)j +(.І· +z)k, х +2y-z -2 =О;
9.28Р =::.і - xj + yk, 3х +6у -2z -6 =О;
9.29F = (}• +z)i + (z +x)j + (х +y)k ,3х -2у -4z -6 =О;
9.30F = (х +2у -<.)і + (.-.; -+у -2z)k +(2х +y-z)j, х -2у -2z: +2 =О ;