![](/user_photo/_userpic.png)
Частина 2
.pdf![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h81x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Q(xi-1)
Q(xi)
а xi-1 xi b x
Хай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перетину тіла Q, відома як безперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перетинами, що проходять через точки хi розбиття відрізання [а, b]. Оскільки на какомабо проміжному відрізку розбиття [xi-1, xi] функція Q(x) безперервна, то приймає на нім найбільше і найменше значення. Позначимо їх відповідно Mi і mi.
Якщо на цих найбільшому і найменшому перетинах побудувати циліндри із створюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні
Mixi і mixi тут xi = xi - xi-1. |
|
Провівши такі побудови для |
всіх відрізань розбиття, отримаємо циліндри, |
n |
n |
об'єми яких рівні відповідно ∑M i ∆xi |
і ∑mi ∆xi . |
i=1 |
i=1 |
При прагненні до нуля кроку розбиття, ці суми мають загальну межу:
|
n |
n |
b |
limλ→0 |
∑M i ∆xi = limλ→0 |
∑mi ∆xi = ∫Q(x)dx |
|
|
i=1 |
i=1 |
a |
Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений по формулі:
b
V = ∫Q(x)dx
a
Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що вельми проблематично для складних тіл.
Приклад: Знайти об'єм кулі радіусу R.
у
R у
-R |
0 |
x R |
x |
У поперечних перетинах кулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається по формулі R2 − x2 .
Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x)= π(R2 − x2 ). Отримуємо об'єм кулі:
81
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h82x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
R |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
R |
|
|
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
R |
3 |
|
|
4πR |
3 |
|
V = ∫ |
π(R |
2 |
− x |
2 |
)dx = π(R |
2 |
x − |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
− R |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
= π R |
|
3 |
|
− π |
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||
−R |
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею підстави S.
QS
xH x
При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, в перетині отримуємо фігури, подібні до підстави. Коефіцієнт подібності цих фігур рівний відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.
З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур рівне коефіцієнту подібності в квадраті, тобто
Q |
|
x 2 |
|
|
= |
|
|
S |
|
||
|
H |
Звідси отримуємо функцію площ перетинів: Знаходимо об'єм піраміди:
Об'єм тіл обертання.
Розглянемо криву, задану рівнянням у = f(x). Припустимо, що функція f(x) безперервна на відрізку [а, b]. Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з підставами а
іb обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.
у= f(x)
x
Оскільки кожен перетин тіла площиною x = const є кругом радіусу, то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений по отриманій вище формулі:
b
V = π∫ f 2 (x)dx
a
Площа поверхні тіла обертання.
Мi B
82
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h83x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
А
х
xi
Визначення: Площею поверхні обертання кривої АВ навколо даної осі називають межу, до якої прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних в криву АВ, при прагненні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.
Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2 ., Mn. Координати вершин отриманою ламаною мають координати xi і yi. При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких рівна Pi. Ця площа може бути знайдена по формулі:
∆P = 2π |
yi−1 + yi |
∆S |
i |
|
||||
|
|
|||||||
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Тут Si – довжина кожної хорди. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
= |
|
|
∆yi |
∆xi |
||
∆Si = ∆xi |
+ ∆yi |
1 + |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∆xi |
|
Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до відношення
Отримуємо: Тоді
∆Pi = 2π yi−1 + yi |
1 + f ′2 (εi )∆xi |
2 |
|
∆yi . ∆xi
Площа поверхні, описаної ламаної рівна:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn = π∑(f (xi−1 ) + f (xi )) 1 + f |
′2 (εi )∆xi |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця сума не є інтегральною, але можна показати, що |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P = lim |
π n |
(f (x |
i−1 |
) + f (x |
)) 1 + f ′2 (ε |
)∆x |
i |
= |
lim |
π n |
2 f (ε |
) |
1 + f ′2 (ε |
)∆x |
i |
|
max ∆x →0 |
∑ |
|
|
i |
i |
|
|
max ∆x →0 |
∑ |
i |
|
i |
|
|||
i |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді P = 2π∫ f (x) |
1 + f ′2 (x)dx - формула обчислення площі поверхні тіла обертання. |
a
Функції декілька змінних
83
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h84x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
При розгляді функцій декілька змінних обмежимося докладним описом функцій два змінних, оскільки всі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.
Визначення: Якщо кожній парі незалежних один від одного чисел (х, у) з деякої множини по якому - або правилу ставиться у відповідність одне або декілька значень змінної z, то змінна z називається функцією два змінних.
z = f(x, у)
Визначення: Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, а якщо більш за одне, то – багатозначною.
Визначення: Областю визначення функції z називається сукупність пар (х, у), при яких функція z існує.
Визначення: Околицею точки М0(х0, у0) радіусу r називається сукупність всіх крапок (х, у), які задовольняють умові (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r .
Визначення: Число А називається межею функції f(x, у) при прагненні крапки М(х, у) до точки М0(х0, у0), якщо для кожного числа ε > 0 знайдеться таке число r >0, що для будь-якої точки М(х, у), для яких вірна умова
MM 0 < r
також вірно і умова f (x, y) − A < ε . Записують:
Визначення: Хай точка М0(х0, у0) належить області визначення функції f(x, у). Тоді функція z = f(x, у) називається безперервною в точці М0(х0, у0), якщо
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) (1)
x→x0 y→y0
причому точка М(х, у) прагне до точки М0(х0, у0) довільним чином.
Якщо в якій – або крапці умова (1) не виконується, то ця крапка називається точкою розриву функції f(x, у). Це може бути в наступних випадках:
1) Функція z = f(x, у) не визначена в точці М0(х0, у0).
2) Не існує межа lim f (x, y) .
x→x0 y→y0
3) Ця межа існує, але він не рівний f( x0, y0).
Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій і обмеженій області D, то в цій області знайдеться принаймні одна крапка
N(x0, y0 .), така, що для решти крапок вірна нерівність f(x0, y0 .) ≥ f(x, у .)
а також точка N1(x01, y01 .), така, що для решти всіх крапок вірна нерівність f(x01, y01 .) ≤ f(x, у .)
тоді f(x0, y0 .)= M – найбільше значення функції, а f(x01, y01 .)= m – найменше значення функції f(x, у .) в області D.
Безперервна функція в замкнутій і обмеженій області D досягає принаймні один раз найбільшого значення і один раз найменшого.
84
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h85x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій обмеженій області D, а M і m – відповідно найбільше і найменше значення функції в цій області, то для будь-якої крапки існує крапка
N0(x0, y0 .) така, що f(x0, y0 .)= µ.
Простіше кажучи, безперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.
Властивість. Функція f(x, у .), безперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число До, що для всіх точок області вірна нерівність f (x, y,...) < K .
Властивість. Якщо функція f(x, у .) визначена і безперервна в замкнутій обмеженій області D, то вона рівномірно безперервна в цій області, тобто для будьякого позитивного числа ε існує таке число ∆ > 0, що для будь-яких двох крапок (х1, y1) і (х2, у2) області, що знаходяться на відстані, меншому, виконана нерівність
f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 ) < ε
Приведені вище властивості аналогічні властивостям функцій однієї змінної, безперервних на відрізку. Див. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Похідні і диференціали функцій декількох змінних.
Визначення. Хай в деякій області задана функція z = f(x, у). Візьмемо довільну
точку М(х, у) і задамо приріст х до змінній х. Тоді величина xz = f( x + ∆x, у) – f(x, у)
називається приватним приростом функції по х.
Можна записати
|
|
|
∆x z = |
f (x + ∆x, y) − f (x, y) |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
∆x |
∆x |
|
|
|||||
Тоді lim |
∆x z |
називається приватній похідній функції z = f(x, у) по х. |
|||||||||
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Позначення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно визначається приватна похідна функції по у. |
|
|
|||||||||
|
|
|
∂z |
= lim |
f (x, y + ∆y) − f (x, y) |
|
|
|
|||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||
|
|
|
∆y→0 |
∆y |
|
|
|||||
Геометричним сенсом |
приватної |
похідної (допустимо |
∂z |
) є тангенс кута |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
нахилу дотичної, проведеної в точці N0(x0, y0, z0) до перетину поверхні площиною у =
у0.
85
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h86x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Повний приріст і повний диференціал.
Визначення. Для функції f(x, у) вираз z = f( x + ∆x, у + ∆у) – f(x, у) називається
повним приростом.
Якщо функція f(x, у) має безперервні приватні похідні, то |
|
||||||
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) + f (x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)]+ |
|||||||
+[f (x, y + ∆y) − f (x, y)] |
|
|
|
|
|
|
|
Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять в |
|||||||
квадратних дужках. |
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y + ∆y) − f (x, y) = ∆y ∂f (x, y) |
|
||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = ∆x ∂f (x, y + ∆y) |
|
||||||
тут |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді отримуємо |
|
|
|
|
|
|
|
∆z = ∆x ∂f (x, y + ∆y) + ∆y ∂f (x, y) |
|
||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
||
Оскільки приватні похідні безперервні, то можна записати рівність: |
|
||||||
lim ∂f (x, y + ∆y) |
= ∂f (x, y) |
|
|||||
∆x→0 |
∂x |
|
∂x |
|
|||
∆y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
∂f (x, y) = |
∂f (x, y) |
|
||||
∆x→0 |
∂y |
|
∂y |
|
|||
∆y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
Визначення. Вираз ∆z = |
∂f (x, y) |
∆x + |
∂f (x, y) |
∆y + α1∆x + α2 ∆y |
називається |
||
|
|
||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
повним приростом функції f(x, у) в деякій крапці (х, у), де 1 і 2 – нескінченно малі функції при х → 0 і у → 0 відповідно.
Визначення: Повним диференціалом функції z = f(x, у) називається головна лінійна відносно х і у приросту функції z в крапці (х, у).
dz = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)dy
Для функції довільного числа змінних:
df (x, y, z,...,t) = ∂∂fx dx + ∂∂fy dy +... + ∂∂ft dt
Приклад. Знайти повний диференціал функції u = x y2 z .
du = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz
86
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h87x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
∂u |
= y 2 zx y2 z−1 ; |
∂u |
= x y2 z ln x 2 yz; |
∂u |
= x y2 z ln x y 2 ; |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
du = y 2 zx y2 z−1dx + 2x y2 z yz ln xdy + y2 x y2 z ln xdz
Приклад. Знайти повний диференціал функції
|
|
|
|
|
|
|
∂z = |
|
|
|
− 2 yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂z = |
y (x |
|
− y |
|
|
∂x |
|
(x2 − y 2 )2 |
+ 2 y |
|
= |
x |
|
+ y |
|
||||||||
|
|
) − y(−2 y) |
= x |
|
− y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
′ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
∂y |
|
|
|
(x2 − y 2 )2 |
|
|
|
|
|
(x2 − y 2 )2 |
|
|
(x2 − y 2 )2 |
||||||||||
|
|
|
|
dz = − |
2xy |
|
|
|
dx + |
x2 + y 2 |
|
dy |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(x2 − y |
2 ) |
(x2 |
− y 2 ) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометричний сенс повного диференціала. Дотична площина і нормаль до поверхні.
N
ϕN0
дотична площина
Хай N і N0 – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN0. Площина, яка проходить через точку N0, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січною NN0 і цією площиною прагне до нуля, коли прагне до нуля відстань NN0.
Визначення. Нормаллю до поверхні в точці N0 називається пряма, що проходить через точку N0 перпендикулярно дотичній площині до цієї поверхні.
Уякій – або крапці поверхня має, або тільки одну дотичну площину, або не має
їїзовсім.
Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, у), де f(x, у) – функція, що диференціюється в точці М0(х0, у0), дотична площина в точці N0(x0,y0(x0,y0)) існує і має рівняння:
z − f (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .
87
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h88x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 2.” |
|
Рівняння нормалі до поверхні в цій крапці: |
|
|
|
|
|||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= z − z0 |
|||
|
f x′(x0 y0 ) |
|
f y′(x0 , y0 ) |
|
|
−1 |
|
Геометричним сенсом повного диференціала функції два змінних f(x, у) в крапці (х0, у0) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від крапки (х0, у0) до крапки (х0+х, у0+у).
Як видно, геометричний сенс повного диференціала функції два змінних є просторовим аналогом геометричного сенсу диференціала функції однієї змінної.
Приклад. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні z = x2 − 2xy + y 2 − x + 2y
у точці М(1, 1, 1).
∂z |
= 2x − 2 y −1; |
∂z |
= −2x + 2 y + 2 |
|||||||||||
∂x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||
|
∂z |
|
|
= −1; |
|
∂z |
|
= 2; |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂x |
|
M |
|
∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рівняння дотичної площини: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z −1 = −(x −1) + 2( y −1); |
|
|
x − 2y + z = 0; |
|||||||||||
Рівняння нормалі: |
|
x −1 |
|
y −1 |
|
|
|
|
z −1 |
|
||||
|
|
= |
= |
; |
||||||||||
|
|
−1 |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
Хай функція f(x, у) дифференцируема в крапці (х, у). Знайдемо повний приріст цієї функції:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) + ∆z
Якщо підставити в цю формулу вираз |
|
|
|
|
∆z ≈ dz = ∂f |
∆x + ∂f ∆y |
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
то отримаємо наближену формулу: |
|
|
|
|
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + ∂f (x, y) |
∆x + |
∂f (x, y) |
∆y |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
Приклад. Обчислити приблизно значення, |
виходячи |
із значення функції |
||
u = x y + ln z при x = 1, у = 2, z = 1. |
|
|
|
|
Із заданого виразу визначимо x = 1,04 – 1 = 0,04, у = 1,99 – 2 = -0,01, ∆z = 1,02 – 1 = 0,02.
Знайдемо значення функції u(x, у, z)= Знаходимо приватні похідні:
88
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h89x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 2.” |
∂u |
= |
|
|
y x y−1 |
2 1 |
=1 |
|||
∂x |
2 |
= |
2 |
1 |
|||||
|
x y + ln z |
|
|||||||
|
∂u |
= |
x y ln x |
= 0 |
|
||||
|
∂y |
|
2 x y + ln z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂u |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
= |
|
z |
= |
|
|||
|
∂z |
|
2 x y + ln z |
2 |
|
du = 0,04 ∂∂ux −0,01 ∂∂uy + 0,02 ∂∂uz =1 0,04 − 0 0,01+ 12 0,02 = 0,04 + 0,01 = 0,05
1,041,99 + ln1,02 ≈ u(1,2,1) + du =1 + 0,05 =1,05
Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.
Приватні похідні вищих порядків.
Якщо функція f(x, у) визначена в деякій області D, то її приватні похідні f x′(x, y) і f y′(x, y) теж будуть визначені в тій же області або її частині.
Називатимемо ці похідні приватними похідними першого порядку.
Похідні цих функцій будуть приватними похідними другого порядку. |
|
|||||||||||||||||||
|
∂2 z |
= |
f xx′′(x, y); |
|
|
∂2 z |
= |
f yy′′ |
(x, y); |
|
|
|
|
|||||||
|
∂x2 |
|
|
∂y 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂2 z |
= |
f xy′′(x, y); |
|
|
∂2 z |
= |
|
f yx′′ (x, y); |
|
|
|
||||||||
|
∂x∂y |
|
|
∂y∂x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Продовжуючи диференціювати отриману рівність, отримаємо приватні похідні |
||||||||||||||||||||
вищих порядків. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначення. Приватні похідні вигляду |
|
|
∂2 z |
; |
∂2 z |
; |
∂3 z |
; |
∂3 z |
і так далі |
||||||||||
∂x∂y |
∂y∂x |
∂x∂y∂x |
∂x∂y∂y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
називаються змішаними похідними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема. Якщо функція f(x, у) і її приватні похідні |
f x′, f y′, f xy′′, f yx′′ визначені і |
|||||||||||||||||||
безперервні в точці М(х, у) і її околиці, то вірне співвідношення: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂2 f |
= |
∂2 f |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂x∂y |
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тобто приватні похідні вищих порядків не залежать від порядку диференціювання.
Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків. dz = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)
89
![](/html/66923/994/html_cguD1ZEjqJ.Q6vP/htmlconvd-nWQK2h90x1.jpg)
“Курс вищої математики. Частина 2.”
d 2 z = d[f x′(x, y)dx + |
f y′(x, y)dy]= f x′′2 (x, y)(dx)2 |
+ 2 f xy′′(x, y)dxdy + |
f y′′2 (x, y)(dy)2 |
||||||||||
d 3 z = |
f ′′3′(x, y)(dx)3 + 3 f ′′2′ |
(x, y)(dx)2 dy |
+ 3 f |
′′′2 (x, y)dx(dy)2 |
+ f |
′′3′ |
(x, y)(dy)3 |
||||||
|
x |
x y |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
....... |
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
||
|
|
d n z = |
|
dx + |
|
dy |
|
|
f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут n – символічний ступінь похідної, на яку замінюється реальний ступінь після зведення в неї що стоїть з дужках виразу.
Екстремум функції декілька змінних.
Визначення. Якщо для функції z = f(x, у), визначеною в деякій області, в деякій околиці точки М0(х0, у0) вірна нерівність
f (x0 , y0 ) > f (x, y)
то точка М0 називається точкою максимуму.
Визначення. Якщо для функції z = f(x, у), визначеною в деякій області, в деякій околиці точки М0(х0, у0) вірна нерівність
f (x0 , y0 ) < f (x, y)
то точка М0 називається точкою мінімуму.
Теорема. (Необхідні умови екстремуму).
Якщо функція f(x,y) в крапці (х0, у0) має екстремум, то в цій крапці або обидві її приватні похідні першого порядку рівні нулю, або хоч би одна з них не існує.
Цю крапку (х0, у0) називатимемо критичною крапкою.
Теорема. (Достатні умови екстремуму).
Хай в околиці критичної крапки (х0, у0) функція f(x, у) має безперервні приватні
похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
D(x, y) = f x′′2 (x, y) f y′′2 (x, y) −[f xy′′(x, y)]2 |
||||
f ′′2 |
|
|
1) Якщо D(x0, y0)> 0, то в крапці (х0, у0) функція f(x, у) має екстремум, якщо |
|||||||
(x |
0 |
, y |
0 |
) < 0 |
- максимум, якщо f ′′2 (x |
0 |
, y |
0 |
) > 0 - мінімум. |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
2)Якщо D(x0, y0)< 0, то в крапці (х0, у0) функція f(x, у) не має екстремуму
Увипадку, якщо D = 0, вивід про наявність екстремуму зробити не можна.
Умовний екстремум.
Умовний екстремум знаходиться, коли змінні х і у, що входять у функцію u = f( x, у), не є незалежними, тобто існує деяке співвідношення
ϕ(х, у) = 0, яке називається рівнянням зв'язку.
Тоді із змінних х і у тільки одна буде незалежною, оскільки інша може бути виражена через неї з рівняння зв'язку.
Тоді u = f(x, у(x)).
dudx = ∂∂fx + ∂∂fy dydx
В точках екстремуму:
du |
= |
∂f |
+ |
∂f dy |
=0 |
(1) |
||
|
|
|
|
|||||
dx |
∂x |
∂y dx |
||||||
|
|
|
|
90