2k4s_DM_Task_List

Список литературы

1.Ори О. Теория графов. М.: Наука, 1968.

2.Виноградов И. М. Основы арифметики. М.: Наука, 1972.

3.Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. М.: Наука, 1976.

4.Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ : В 2т. Т.2. М.: Мир, 1977.

5.Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.

6.Фудзисава Т., Касами Т. Математика для радиоинженеров. М.: Радио и связь, 1984.

7.Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

8.Сибуя М., Ямомото Т. Алгоритмы обработки данных. М.: Мир, 1986.

9.Зыков А. А. Основы теории графов. М: Наука, 1987.

10.Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

11.Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

12.Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.

13.Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной математики. М.: Изд-во МАИ, 1992.

14.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1997.

15.Введение в криптографию/Под общ. ред. В. В. Ященко. М.: MЦНMО, 1998.

16.Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1998.

17.Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислитель• ных алгоритмов. М.: Мир, 1998.

18.Романовский И. В. Дискретный анализ. СПб.: Невский диалект, 1999.

19.Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи• тер, 2002.

20.Малов С. В., Поздняков С. Н., Рыбин С. В. Основы дискретной матема• тики. Учебное пособие. СПб.: Издательство СПбГЭТУ ”"ЛЭТИ’, 2002.

21.Поздняков С. Н., Рыбин С. В. Компьютерная математика. Учебное посо• бие. СПб.: Издательство СПбГЭТУ ”"ЛЭТИ’, 2005.

11

4Тесты для зачета

263677

c)677 , d) 263 .

2.При каком m разрешимо диофантово уравнение 120x + 75y = m: a) 16, b) 15,

c)25, d) 24.

3.Известна первая половина m = 55 открытой части ключа и закрытая часть ключа d = 9 системы шифрования RSA. В качестве второй половины открытой ча• сти ключа e можно взять: a) 8, b) 15, c) 9, d) 25.

4.Сколько подмножеств имеет множество из n элементов: a) n2, b) n!,

c)2n,d) nn.

5.В графе, имеющим p вершин и q ребер сумма степеней его вершин всегда равна: a) pq , b) 2(p + q), c) 2q, d) 2p.

1. Цепная дробь (−1, 1, 1, 3, 1, 2, 4) наиболее удалена от дроби a) −109 , b) 17 109 169

c)− 48 , d) 75 .

2.При каком b разрешимо диофантово уравнение 91x + by = 39: a) 49, b) 92,

c)26, d) 14.

3.Известна вторая половина e = 7 открытой части ключа и закрытая часть ключа d = 7 системы шифрования RSA. В качестве первой половины открытой части ключа m можно взять: a) 39, b) 38, c) 37, d) 36.

4.Пусть A и B множества, состоящие из m и n элементов соответственно. Сколько имеется функций из A в B: a) mn, b) m + n, c) nm, d) mn.

5.Сумма строк матрицы инцидентности ориентированного графа является:

a)нулевой строкой, b) строкой из 1 и −1, c) единичной строкой, d) строкой из чисел n и −n, где n есть число вершин графа.

12

Тест 3.

1. К разложению какого числа могут принадлежать соседние подходящие дроби

5и 7 : a) 13 , b) 51 , c) 47 , d) 121 .

2.При каком b справедливо сравнение 17 ≡ b MOD 25: a) 12, b) −15, c) 42, d) 44.

3.Числа m = 21 и e = 5 являются открытой частью ключа системы шифрова• ния RSA. В качестве закрытой части ключа d можно взять: a) 3, b) 17, c) 9,

d) 11.

4.Производящей функцией для последовательности биномиальных коэффициен• тов Cnk, k = 0, 1, . . . , n является: a) xn, b) x1N , c) (1 + x)n, d) enx.

5.Матрица смежности неориентированного графа является: a) верхней тре• угольной, b) симметричной, c) антисимметричной, d) нижней треугольной.

Тест 4.

1.Некоторое отрицательное рациональное число разложено в цепную дробь. Справедливо утверждение: а) все звенья дроби отрицательны, b) первое звено рав• но целой части числа, c) каждое следующее звено больше предыдущего, d) каждое следующее звено меньше предыдущего.

2.При каком m справедливо сравнение 99 ≡ 14 MOD m: a) 17, b) 15, c) 16, d) 14.

3.Китайским кодом числа 79 по системе модулей {3, 5, 8} является набор:

a){0, 2, 6}, b) {1, 4, 7}, c) {2, 3, 5}, d) {2, 4, 6}.

4.Какое слово предшествует в лексикографическом порядке слову bcade:

a)bdcae, b) aebdc, c) cabed, d) dabec.

5.Регулярным называется граф, у которого всегда: a) число вершин равно чис• лу ребер, b) все вершины четной степени, c) степень всех вершин одинакова, d) все вершины нечетной степени.

13

Тест 5.

52

1. Какая из перечисленных дробей может являться подходящей дробью : a) 16 ,

2. При каком a набор {0, a, 2a, 3a, . . . , 14a} является полной системой вычетов по модулю 15: a) 3, b) 5, c) 8, d) 10.

3.Для какого числа a справедливо равенство ϕ(an) = an − an−1, где ϕ(m) – функ• ция Эйлера: a) a – четное , b) a – нечетное, c) a – простое, d) a ≡ 1 MOD n.

4.Какое слово предшествует в антилексикографическом порядке слову dceab: a) edcab, b) cdeba, c) cdaeb, d) dcbea.

5.В связном графе существует замкнутая эйлерова цепь тогда и только то• гда, когда: a) существует ровно две вершины нечетной степени,b) все вершины графа имеют нечетную степень, c) все вершины графа имеют четную степень, d) суще• ствует ровно две вершины четной степени.

Тест 6.

1.Дана последовательность подходящих дробей для √n, где n – некоторое на•

туральное число. Справедливо утверждение: а) все дроби последовательности несо• кратимы, b) последовательность монотонно возрастает, c) последовательность мо• нотонно убывает, d) последовательность имеет чередующиеся знаки.

2.При каком m кольцо вычетов Z/(m) является полем: a) 8, b) 25, c) 9, d) 29.

3.Для какого числа m справедливо равенство: (m − 1)! ≡ −1 MOD m: a) 89,

b)120, c) 75, d) 49.

4.Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно: a) nk, b) Cnn+−kk,

5. Гамильтоновым циклом графа называется: a) цикл, содержащий все ребра графа по одному разу, b) цикл, содержвщий четное число ребер,c) цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, d) цикл, содержвщий четное число вершин.

14

Тест 7.

1. Разложением какого числа может служить бесконечная периодическая дробь

2.При каком m в кольце вычетов Z/(m) справедливо равенство 3 × 25 = 0:

a)35, b) 15, c) 30, d) 20.

3.Сколько решение в Z/(98) имеет сравнение 35x ≡ 14 MOD 98: a) 1, b) 5, c) 7,

d)2.

d)C2nn − Cnn.

5.Паросочетанием в графе назывется: a) ребро, удаление которого уведичивает число компонент связности, b) множество ребер, в котором никакие два не смежны,

c)чередующаяся последовательности вершин и ребер, d) пара висячих вершин.

Тест 8.

1.Относительно последовательности подходящих дробей для √n справедливо

утверждение: а) начиная с некоторого номера члены последовательности повторя• ются, b) в последовательности встречаются дроби с одинаковыми числителями, c) последовательность ограничена сверху, d) числители всех дробей взаимно просты.

2.При каком m в кольце вычетов Z/(m) справедливо равенство 42 = 1: a) 14,

b)5, c) 8, d) 10.

3.Для какого b разрешимо сравнение 20x ≡ b MOD 96: a) 14, b) 24, c) 95, d) 15.

4.Какой вид имеет общее решение линейного однородного рекуррентного урав• нения fn+2 − 4fn+1 + 4fn = 0: a) α2n, b) (α1 + α2n)2n, c) α12n + α24n, d) α4n.

5.Дерево с p вершинами имеет: a) p ребер, b) p − 1 ребро, c) p + 1 ребро, d) p + 2

ребер.

15

Тест 9.

1.Пусть D(x, y) = d – наибольший общий делитель, а M(x, y) = m – наимень• шее общее кратное двух чисел x и y. Тогда справедливо высказывание: а) если xy = m, то d = 1, b) m 6 MAX (x, y), c) d > MIN (x, y), d) mx = dy.

2.Для какого m справедливо равенство 120ϕ(m) ≡ 1 MOD m: a) 27, b) 96, c) 91,

d)16.

3.Китайская теорема об остатках дает формулу для нахождения числа по остаткам по некоторой системе модулей. Теорема применима, если: a) среди модулей есть равные, b) среди модулей есть пара не взаимно-простых, c) никакие два модуля не делят друг друга, d) все модули попарно ваимно-простые.

4.Сколько линейно-независимых решений имеет линейное однородное рекур• рентное уравнение fn+2 − 5fn+1 + 6fn = 0: a) одно, b) два, c) три, d) n.

5.Цикломатическое число дерева равно: a) числу вершин, b) 1, c) числу вершин минус число ребер, d) 0.

Тест 10.

1.Пусть D(x, y) = d – наибольший общий делитель x и y. Тогда справедливо высказывание: а) d = D(x, x + y, b) если x = y + 1, то d > 1, c) D(x, y) = D(2x, y),

d)D(x, y) = D(x, y2).

2.Сравнение ax ≡ b MOD m имеет единственное решение в Z/(m) если: a) m – простое, b) a – простое, c) a взаимно просто с b, d) a взаимно просто с m.

3.Для каких пар чисел справедливо равенство ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), где ϕ(m) – функ• ция Эйлера: a) 9 и 15, b) 20 и 24, c) 8 и 15, d) 21 и 35.

p(p − 1)

.

2

16

5Ответы на тесты для зачета

6Пример экзаменационного варианта

Замечание 6.1. Все задачи, приведенного ниже экзаменационного варианта, ге•

нерируются ЗАДАЧНИКОМ.

Вариант 1.

1. Решить диофантово уравнение

798x − 1085y = 63.

2. Вычислить 46/65 в кольце вычетов по модулю 71.

881

3.Найти представление рационального числа 276 непрерывной дробью.

4.Найти остаток от деления многочлена

2x5 + 3x4 + 6x3 + 3x2 + 5x на 3x3 + 4x2 + 3x + 5

вкольце Z/7Z[x].

5.Определить количество двоичных 14-ти значных чисел, имеющих в записи 10 единиц. Ответ записать в виде числа сочетаний.

6.Сколько существует решений уравнения x1 +x2 +· · ·+x35 = 55 в целых числах, где xi > 1.

7.Среди 94 целых чисел 62 кратно 3, 8 кратно 11, 2 кратно 9, 2 кратно 33, 1 кратно 99. Определить, сколько из них кратно 3 или 11 но не кратно 9.

8.Все перестановки 7 чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) упорядочены в лексикографическом порядке. Какой по счету идет перестановка (4, 7, 5, 2, 6, 3, 1).

17

9.C помощью алгоритма Хаффмана постройте код Шеннона-Фэно для тексто•

вого сообщения, состоящего из символов ”Щ“, ”Ъ“, ”Ы“, ”Ю“, ”Ь“, ”Э“ с частотами соответственно 15, 44, 96, 89, 56, 85.

10.Для заданного на рис. 6.1 графа постройте минимальное остовное дерево, применив алгоритм Прима (построение начать с вершины H). В ответе укажите

порядок включения ребер.

Рис. 6.1.

11. Для заданного на рис. 6.2 графа постройте минимальное остовное дерево, применив алгоритм Краскала. В качестве ответа приведите цвета вершин, при каж• дом добавлении очередного ребра. Начальная раскраска: A − 1, B − 2, . . .. Добавляемое

ребро перекрашивает цвет с меньшим номером в цвет с большим номером.

Рис. 6.2.

12. Вычислите длины кратчайших путей от вершины L до остальных вершин

графа на рис. 6.3 с помощью алгоритма Дейкстры. В огтвете приведите протокол работы алгоритма.

Рис. 6.3.

18

13. C помощью алгоритма Флойда определите кратчайшие пути между всеми парами вершин указанного на рис. 6.4 графа. В решении представить все матрицы, соответствующие последовательному расширению множества промежуточных вер• шин. Выпишите кратчайший путь от вершины C до вершины D и его длину.

D

Рис. 6.4.

Оглавление

19