Математика
.pdfПример. Если x sin |
1 |
, |
x , то при х 0 lim |
|
не существует, т.е. функция |
|
x |
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|||
и несравнимы. |
|
|
|
|
|
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1) ~ , |
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если ~ и ~ , то ~ , |
lim |
|
lim |
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3) Если ~ , то ~ , |
lim |
lim |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Если ~ 1 и ~ 1 |
и lim |
k , то и lim 1 |
k |
или lim |
lim 1 . |
||||||
|
x a |
|
|
x a |
1 |
|
x a |
x a |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: а) если ~ 1 |
и lim |
|
k , то и lim |
|
lim |
1 |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
x a |
x a |
|
x a |
||||||
б) если ~ 1 |
и lim |
k , то lim |
lim |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x a |
|
x a |
|
x a |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел lim |
tg5x |
|
sin 7x |
||
x 0 |
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
Пример. Найти предел lim |
|||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
2 x |
x |
2 |
||
Так как 1 – cosx = 2sin |
|
|
~ 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
Пример. Найти предел lim
x 0
lim |
tg5x |
lim |
5x |
|
5 |
|
sin 7x |
7x |
7 |
||||
x 0 |
x 0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
||
|
при х 0, то lim |
x3 |
lim |
|
x3 |
|
lim 2x 0 . |
|
|
1 cos x |
|
x 2 |
|
||||
|
|
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
tgx |
lim |
x |
. |
|
sin x2 |
x2 |
|||
x 0 |
|
Если и - бесконечно малые при х а, причем - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то = + - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно
|
|
|
|
|
|
|
доказать следующим равенством lim |
|
lim 1 |
|
|
|
1. |
|
|
|||||
x a |
x a |
|
|
|
Тогда говорят, что - главная часть бесконечно малой функции .
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х 0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем = х2, = х, тогда
lim |
x 2 |
0, lim |
x 2 |
x |
lim (x 1) 1. |
x |
|
x |
|||
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
Некоторые замечательные пределы.
Первый замечательный предел. lim P(x) , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,
x Q(x)
Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.
|
|
x n (a |
|
|
a1 |
... |
|
an |
) |
|
a |
|
|
a1 |
... |
an |
|||||||
P(x) |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x n |
x n m |
|
|
|
x |
|
|
xn |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Q(x) |
|
x m (b |
|
|
b1 |
|
.... |
bm |
) |
|
b |
|
|
b1 |
|
... |
bm |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
x m |
|
0 |
|
|
x |
|
x m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a1 |
... |
an |
|
|
|
|||
|
0 |
x |
x n |
|
|
a0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b1 |
|
bm |
|
|
|||||
x |
b0 |
|
... |
|
|
b |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
n m |
|
|
|
|
0, |
|
||||
|
|
P(x) |
a |
0 |
|
|
|
|
Итого: |
lim |
|
|
|
, при |
n m |
|
|
|
|
|
||||||
|
x Q(x) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
при |
n m |
|
||
|
|
|
|
Второй замечательный предел. lim sin x 1
x0 x
|
|
|
1 |
x |
e |
Третий замечательный предел. |
lim 1 |
|
|
||
|
|||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
lim |
ln(1 x) |
1; |
lim |
a x 1 |
ln a; |
lim |
(1 x)m 1 |
m. |
||
|
|
|
|
|
||||||
x0 |
x |
|
x0 |
x |
|
x0 |
x |
|
Пример. Найти предел.
lim |
tgmx |
lim |
mx |
|
m |
|
|
|
|||
x0 |
sin nx |
x0 |
nx |
|
n |
Пример. Найти предел.
lim |
tgx tgx0 |
lim |
sin(x x0 ) |
lim |
sin(x x0 ) |
lim |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
x x0 |
x x0 |
x x0 |
(x x0 ) cos x cos x0 |
x x0 |
x x0 |
cos x cos x0 |
|
cos |
x0 |
||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел.
|
|
|
|
|
2 |
|
sin( / 4 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x cosx |
|
|
|
|
|
|
sin( / 4 |
x) |
|
1 |
|
|||||||
lim |
|
lim |
2 |
|
|
|
lim |
|
|
||||||||||
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x / 4 |
|
x / 4 |
|
|
|
|
4x |
x / 4 |
2 |
|
x) |
|
2 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( / 4 |
|
|
|
Пример. Найти предел.
|
|
y / 2 x |
|
|
cos( / 2 y) |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
sin y |
|
1 |
|
lim |
|
x / 2 |
y |
|
lim |
|
lim |
|
|
|
2x |
|
|
|
|||||||
x / 2 |
|
|
|
y 0 |
2 y |
y 0 |
y |
|
2 |
|
|
|
2x 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел.
|
x 3 |
x 3 |
|
|
x 1 |
|
|
x 3 |
y x 1 |
|
y 4 |
|
y 4 |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
lim |
y |
|
|
lim 1 |
y |
|
|
lim 1 |
|||||||||||||||||||
x x |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
4 z |
|
|
|
|
1 |
|
z 4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2 x0
44
y
Пример. Найти предел lim |
x 2 |
6x 8 |
. |
|
x 2 |
8x 12 |
|||
x 2 |
|
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
Тогда lim
x 2
x2 – 6x + 8 = 0; |
x2 – 8x + 12 = 0; |
D = 36 – 32 = 4; |
D = 64 – 48 = 16; |
x1 = (6 + 2)/2 = 4; |
x1 = (8 + 4)/2 = 6; |
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; |
x2 = (8 – 4)/2 = 2; |
(x 2)( x 4) |
lim |
x 4 |
|
2 |
|
1 |
|
(x 2)( x 6) |
x 6 |
4 |
2 |
||||
x 2 |
|
|
Пример. Найти предел.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x x 2 1 x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное |
||||||||||||
|
|
x 2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
выражение: lim |
|
|
1 x x2 1 x x2 |
lim |
|
2x |
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 x(x 1)( |
1 x x2 1 x x2 ) |
x 0 x(x 1)( |
1 x x2 |
|
1 x x2 ) |
||||||||||||
= |
|
|
|
2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 (1 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти предел.
lim |
x 2 5x 6 |
x 2 |
5x 6 (x 2)( x 3) lim |
(x 2)( x 3) |
|
3 |
2 |
|
1 |
|
x 2 9 |
(x 3)( x 3) |
3 |
3 |
6 |
||||||
x 3 |
|
x 3 |
|
|
Пример. Найти предел lim |
x3 |
6x 2 11x 6 |
. |
|
|
x 2 3x |
2 |
||
x 1 |
|
|
Разложим числитель и знаменатель на множители. x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1
x3 – x2 |
x2 – 5x + 6 |
-5x2 + 11x
-5x2 + 5x
6x - 6
6x - 6
0
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда lim |
(x 1)( x 2)( x 3) |
2 |
|
(x 1)( x 2) |
|||
x 1 |
|
Пример. Найти предел.
|
|
|
|
|
|
2sin |
2a 2h |
cos |
2h |
2sin(a h) |
|
|
||
|
sin(a 2h) 2sin(a h) sin a |
|
|
|
|
2sin(a h)(cosh 1) |
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
h2 |
|
h2 |
||||||
h 0 |
|
|
|
h 0 |
|
|
h 0 |
|
||||||
2 lim sin(a h) lim |
2sin 2 (h / 2) |
2sin a ( 1/ 2) sin a |
|
|
|
|
||||||||
4(h / 2)2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
h 0 |
h 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для самостоятельного решения:
1) |
lim |
2x 4 |
2x 2 |
5x 6 |
|
|
x3 |
2x 2 |
7x 1 |
|
|||
|
x |
|
|
|||
2) |
lim |
(2x3 4x 5)(x2 x 1) |
2 |
|||
|
|
2x3 |
7x2 x 1) |
|||
|
x (x 2)(x4 |
|
3) |
lim |
|
x 2 |
7x 10 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 2 |
8x 12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
4 x x 2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) |
lim |
|
1 x sin x 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
3 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x x 2 7 2x x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
2x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8) |
lim |
|
|
|
|
|
x3 2x 2 4x 8 |
|
- не определен. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 x3 |
24 x 2 16 |
|||||||||||||||||||||||||
|
x 2 3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
lim f (x) f (x0 )
x x0
Тот же факт можно записать иначе: lim |
f (x) f ( lim x) |
x x0 |
x x0 |
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+
f(x0)
f(x0)-
0 x0- x0 x0+ |
x |
Пример разрывной функции:
y
f(x0)+ f(x0)
f(x0)-
x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
x x0
верно неравенство |
|
f (x) f (x0 ) |
|
. |
|
|
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при х х0.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций |
f (x) |
– есть непрерывная функция при |
|
g (x) |
|||
|
|
||
условии, что g(x) не равна нулю в точке х0. |
|
|
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция f (x) |
a |
0 |
xn a xn1 |
... a |
n |
|
|
1 |
|
непрерывна для всех |
|||
b xm b xm 1 |
... b |
|
||||
0 |
1 |
m |
|
значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:
|
x |
x |
y 2 cos x |
sin |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||
lim y 2 lim cos x |
sin |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
. При |
|
Действительно, имеется предел произведения двух функций cos x |
и sin |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
этом функция косинус – ограниченная функция при х 0 |
|
|
x |
|
1, а т.к. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
предел функции синус lim sin |
x 0 , то она является бесконечно малой при х 0. |
|
|||||||||
x 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.