kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti
.pdfЭллипсоид – замкнутая центральная поверхность второго порядка. В декартовой системе координат Oxyz с началом в центре симметрии эллипсоида,
оси координат которой совпадают с осями симметрии эллипсоида, уравнение эллипсоида имеет канонический вид
|
x2 |
|
y2 |
|
z 2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
||||
|
a2 |
|
c2 |
|
|
|
||||
где a,b,c - полуоси эллипсоида. Объем эллипсоида равен V |
4 |
abc . |
||||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
a b c , эллипсоид называется трехосным. Если |
a b c , то |
имеем сжатый (сплющенный) эллипсоид вращения, получающийся при
вращении эллипса |
x2 |
|
z 2 |
1 вокруг его малой полуоси. Если a b c , имеем |
|
a2 |
c2 |
||||
|
|
|
вытянутый эллипсоид вращения, получаемый вращением того же эллипса вокруг большой полуоси. Если a b c , то эллипсоид является сферой
x2 y2 z2 a2 . Сечением эллипсоида любой плоскостью является эллипс.
Гиперболоид – незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существует два вида гиперболоида – однополостный и двуполостный. В
декартовой системе |
координат |
Oxyz |
с началом |
в |
центре |
симметрии |
||||||||||||||||
гиперболоида, |
оси координат |
которого |
совпадают |
с |
осями |
симметрии |
||||||||||||||||
гиперболоида, уравнения гиперболоида принимают канонический вид |
||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z 2 |
|
1 |
(однополосный гиперболоид), |
|
|
|
||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где a,b - действительные полуоси, c - мнимая полуось; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z 2 |
|
1 (двуполостный гиперболоид), |
|
|
|
|||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где a,b - мнимые полуоси, c - действительная полуось. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Гиперболоид неограниченно приближается к поверхности, называемой |
||||||||||||||||||||||
асимптотическим конусом |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
z 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
Сечениями гиперболоида плоскостями, параллельными оси z , являются гиперболы, а параллельно осям x и y - эллипсы.
Параболоид – незамкнутая поверхность второго порядка, не имеющая центра симметрии. Существуют два вида параболоида – эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. В декартовой системе координат Oxyz с началом в вершине параболоида, ось Oz которой совпадают с осью
симметрии параболоида, уравнения параболоида принимают канонический вид
91
x2 y2
pq 2z (эллиптический параболоид)
x2 y 2 2z (гиперболический параболоид),
pq
где р 0, q 0.
Сечения эллиптического параболоида параллельно плоскости Oxy – эллипсы, параллельно оси Oz ‒ параболы. Если p q , то эллиптический параболоид называется параболоидом вращения, получаемый вращением
параболы x2 2 pz вокруг своей оси симметрии. |
Сечения гиперболического |
|
параболоида плоскостями Oxz и Oyz параболы |
x2 2 pz и |
y2 2qz , |
параллельно плоскости Oxy - гиперболы (две пересекающихся прямых, если
z 0 ). |
|
|
|
Пример 16. |
Определим тип поверхностей второго порядка: |
1) |
|
5x2 y2 50z 0, |
2) 4x2 16 y2 z2 16 0 , |
3) x2 3y2 18z 0 , |
4) |
x2 4 y2 16z2 16 0 , 5) 36x2 9 y2 4z2 36 0 .
Приводя уравнения к каноническому виду, получим:
1)x2 y2 2z ‒ эллиптический параболоид,
5 25
2)x2 y2 z 2 1 ‒ однополосный гиперболоид,
4 16
3)x2 y2 2z ‒ гиперболический параболоид,
9 3
4) |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 ‒ двуполостный гиперболоид, |
|||
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
5) |
x2 |
y2 |
|
|
z 2 |
1 ‒ эллипсоид. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
9 |
|
|
|
||||
5.7. Задания для самостоятельной работы |
|
||||||||
Задача 1. Написать общее уравнение прямой l , проходящей через точку |
|||||||||
M 0 x0 , y0 |
и отсекающей от осей координат треугольник площадью S кв. ед. |
||||||||
1. |
M 0 6,2 , S 3 |
2. |
M 0 10, 6 , S 15 |
||||||
3. |
M 0 4,12 , S 2 |
4. |
M 0 5, 6 , S 2.5 |
92
Задача 2. Составить общие уравнения прямых линий l1 и l2 , проходящих через точку M 0 x0 , y0 параллельно и перпендикулярно прямой линии l : ax by c 0 .
1. |
M 0 3,1 , |
l : 3x y 4 0 |
2. |
M 0 |
2, 3 , l : x y 5 0 |
3. |
M 0 4,0 , l : 2x 6 y 12 0 |
4. |
M 0 |
1,3 , l : 2x 5y 1 0 |
|
Задача 2. Составить общие уравнения прямых линий, проходящих через |
|||||
точку пересечения |
прямых l1 : a1x b1 y c1 0 |
и l2 : a2 x b2 y c2 0 |
параллельно и перпендикулярно прямой линии l : ax by c 0 .
1.l1 : 2x y 6 0 , l2 : x y 3 0 , l : 3x y 4 0
2.l1 : x y 7 0 , l2 : 2x 3y 4 0 , l : 6x 3y 2 0
3. l1 : 4x 3y 7 0 , l2 : 5x 2 y 7 0 , |
l : x y 8 0 |
4.l1 : 3x 5 y 15 0 , l2 : 2x y 3 0 , l : 2x 6 y 1 0
Задача 3. Заданы координаты вершин треугольника A(хA , y A ) , B xB , yB |
||||
и C xC , yC . Найти длину высоты треугольника AD и написать уравнение |
||||
перпендикуляра, опущенного из вершины C на сторону AB . |
||||
1. |
A 6, 4 , B 3, 7 , C 3,2 ; |
2. |
A 3,2 , B 2, 5 , C 6, 1 ; |
|
3. |
A 2,5 , B 3,4 , C 4, 2 ; |
4. |
A 3,4 , B 2, 1 , C 1, 7 ; |
|
Задача 4. Определить углы, образованные |
пересечением плоскостей |
|||
1 : a1x b1 y c1z d1 0 и 2 : a2 x b2 y c2 z d2 |
0 . Найти расстояние от |
|||
точки M 0 x0 , y0 , z0 до плоскости 1. |
|
|
|
1.1 : 3y z 0 , 2 : 2 y z 0 , M 0 2,2,1
2.1 : x 2 y z 1 0 , 2 : x 2 y z 3 0 , M 0 4,22, 5
3.1 : x 2 y 2z 3 0 , 2 :16x 12 y 15z 1 0, M 0 1,3, 1
4.1 : 6x 3y 2z 0 , 2 : x 2 y 6z 12 0 , M 0 3,5,10
Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 x0 , y0 , z0 |
|
|
|
а) перпендикулярно |
вектору n a,b,c ; б) |
параллельно |
|
нормальному |
вектору плоскости |
1 : a1x b1 y c1z d1 0 ; |
в) и точку |
M1 x1, y1, z1 и параллельно оси Ol1; г) проходящей через ось Ol2 . |
|
93
|
M 0 5,3, 1 |
|
2, 4,1 ; б) 1 :x y z 7 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
а) n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) M1 6,2, 3 , |
Ol1 Ox ; г) Ol2 |
Oy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M 0 1, 2,3 |
|
3, 4,5 ; б) 1 : 2x 3y 4z 6 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
а) n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) M1 0,2,5 , Ol1 Oy ; г) Ol2 |
Oz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M 0 3,2,1 |
|
4,5, 3 ; б) 1 : 2x y z 10 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
а) n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) M1 1, 1,1 , Ol1 Oz ; г) Ol2 |
Ox |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M 0 2,4,3 |
|
1,3,2 ; б) 1 : 5x 2 y 2z 9 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
а) n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) M1 6,0,4 , Ol1 Oy ; г) Ol2 |
|
Oy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 6. Составить |
уравнение |
прямой |
|
|
|
линии |
|
|
|
l |
в пространстве, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходящей через точку M 0 x0 , y0 , z0 а) по направлению вектора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q m, n, p ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) параллельно прямой l1 ; в) и точку M1 x1, y1, z1 ; г) параллельно оси Ol . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3,7,2 ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
y 3 |
|
|
z 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
M 0 8,4, 5 |
а) q |
|
l |
|
: |
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
в) M1 3, 2, 3 ; г) Ol Ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2,0,1 ; б) l |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 3 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
M 0 1, 2,3 |
а) q |
|
|
: |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
в) M1 0,2,5 ; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Ol Oz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5, 1,4 ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y 1 |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
M 0 2,3,0 |
а) q |
l |
: |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
в) M1 1,1, 2 ; г) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ol Oy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3,4, 1 ; б) |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
y |
|
|
z 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
M 0 1,1, 1 |
а) q |
l |
: |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
в) M1 3, 2,4 ; г) Ol Ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 7. Составить уравнение прямой линии l |
параллельной прямой l1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и точку |
M 0 x0 , y0 , z0 . |
Найти углы, которые прямая линия |
|
l1 |
составляет с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
осями координат и прямой l2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M 0 0,1,0 , l1 |
x 2 y 5 0 |
, |
l2 |
: |
|
|
x 1 |
|
y 2 |
|
|
|
|
z 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3z 8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
M 0 2,0,1 , l1 |
x 2z 1 0 |
, |
l2 |
: |
|
x 1 |
|
|
|
y 1 |
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2z 1 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
94
|
M 0 2, 3,0 , l1 |
x y 1 0 |
, l2 |
: |
x |
|
y |
|
z |
|
3. |
: |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
x z 1 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
x y 2 0 |
|
x |
|
y 2 |
|
z 2 |
||||
4. |
M 0 1,4, 1 , l1 : |
|
, l2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y 2z 1 0 |
|
0 |
|
2 |
|
|||||
Задача |
8. |
Найти |
уравнение |
плоскости |
проходящей через точку |
||||||||
M 0 x0 , y0 |
|
и прямую l : |
a x b y c z d 0 |
|
|
|
|
||||||
, z0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a1x b1 y c1z d1 0 |
|
|
|
|
|||||
1. |
M 0 1, 5,3 |
|
|
|
2. |
|
|
M 0 3, 3,5 |
|||||
|
|
3x y 2z 6 0 |
|
|
|
|
|
2x 2 y z 8 0 |
|||||
|
l : |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
l : |
|
|
|
|
|
x 3y z 3 |
|
|
|
|
|
2x 4 y z 4 0 |
|||||
3. |
M 0 0, 6,2 |
|
|
|
4. |
|
|
M 0 4,0,3 |
|||||
|
|
x 4 y z 10 0 |
|
|
|
|
|
3x y 2z 6 0 |
|||||
|
l : |
|
2 y 6z 12 0 |
|
|
|
|
|
l : |
3y z 3 0 |
|||
|
|
3x |
|
|
|
|
|
x |
Задача 9. Составить уравнение плоскости , проходящей через три точки M1 x1, y1, z1 , M 2 x2 , y2 , z2 и M 3 x3, y3, z3 . Определить угол, который
прямая линия l |
составляет с полученной плоскостью . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
M1 3,4,2 , M 2 |
4,5,2 , M 3 |
7,3, 2 , l : |
x 2 |
|
y |
|
|
z 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
M |
|
2,3,0 , M |
|
1,2,2 , M |
|
1,0, 3 , l : |
x 3 |
|
|
y 2 |
|
z |
|
||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
M1 3, 1,2 , M 2 4, 1, 1 , |
|
M 3 2,0,2 , l : |
x |
|
y |
|
|
z 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
M1 3,4,6 , M 2 |
3, 2, 3 , |
M 3 6,3,2 , l : |
x 3 |
|
|
y 1 |
|
z 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
Задача 10. Составить уравнение прямой линии, проходящей через центры двух окружностей. Найти отношение радиусов окружностей.
1. |
x2 |
y2 2x 2 y 14 0 |
2. |
x2 |
y2 |
25 0 |
|
|
x2 y2 50x 4 y 25 0 |
x2 y2 2x 4 y 31 |
0 |
||||||
|
|
|||||||
3. |
x2 |
y2 2x 3 0 |
4. |
x2 |
y2 |
10x 4 y 13 0 |
||
x2 y2 8x 6 y 11 0 |
x2 y2 8x 4 y 29 |
0 |
||||||
|
|
95
Задача 11. Эллипс, симметричный относительно осей координат, |
||||||||||||||||||||||||||||
проходит через точки M1 x1, y1 , |
M 2 x2, y2 |
. Найти его полуоси, координаты |
||||||||||||||||||||||||||
фокусов и эксцентриситет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
M1 2, |
|
|
, M 2 0,2 |
|
|
2. M1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
3 |
|
|
3,1 , M 2 15, 1/ 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 5 / 2, |
|
|
/ 4 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||
3. |
M1 1, 4 2 , M 2 2,2 |
5 |
4. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M 2 2, |
15 / 5 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 12. Найти для гиперболы действительную и мнимую полуоси, |
||||||||||||||||||||||||||||
координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
2. |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 |
4 1 |
|
|
36 |
|
16 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. |
y2 |
|
x2 |
|
|
|
4. |
|
|
|
2 |
9 y |
2 |
64x 18 y 89 0 |
||||||||||||||
25 |
49 1 |
|
|
16x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса. Найти ее основные параметры.
|
1. |
|
x2 |
|
y2 |
|
2. |
|
x2 |
|
y2 |
|
||
|
25 |
9 |
1 |
4 |
|
9 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3. |
|
x2 |
|
y2 |
|
4. |
|
x2 |
|
y2 |
|
||
|
9 |
16 |
1 |
8 |
|
5 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 14. Составить уравнение параболы, проходящей через точку |
||||||||||||||
M x, y |
и |
|
начало |
координат |
симметрично относительно оси Ol . Найти |
|||||||||
координаты ее фокусов и уравнение директрисы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
M 2, 4 , Ol Ox |
|
M 2 |
|
|
||||||||
|
1. |
2. |
2,2 , Ol Oy |
|||||||||||
|
3. |
M 8, 8 , Ol Oy |
4. |
M 1,5 , |
Ol Ox |
Задача 15. Определить тип поверхности второго порядка и найти уравнение ее сечений плоскостями 1 и 2 .
1.x2 3y2 18z 0 , 1 : z 2 0 , 2: : y 0
2.36x2 9 y2 4z2 36 0 , 1 : z 0 , 2: : x y 0
3.4x2 16 y2 z2 16 0 , 1 : z 4 0 , 2: : y 1 0
4.x2 y2 z2 53 0 , 1 : x 2 0 , 2: : x y 0
5.5x2 y2 50z 0, 1 : z 0.5 0 , 2: : x 0
6.x2 4 y2 16z2 16 0 , 1 : z 2 0 , 2: : y 2 0
96
Глава 6. Линейное программирование
6.1.Постановка задачи линейного программирования
Метод линейного программирования используется для планирования деятельности каких-либо экономических объектов, с учетом реально существующих ограничений, если:
задача сводится к определению числовых характеристик плана, обеспечивающего эффективную работу объекта с точки зрения выбранного критерия;
критерий эффективности, а именно, некоторая числовая характеристика линейно зависит от числовых характеристик плана;
ограничения, связанные с деятельностью экономического объекта, могут быть представлены с помощью линейных неравенств относительно
числовых характеристик плана.
Общая постановка экономико-математической модели (ЭММ) задачи линейного программирования имеет вид:
X T x |
x |
|
x |
? – план |
|||||||
1 n |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
F ( X ) C X opt |
– функция цели, где c j R, j 1, n |
||||||||||
|
1 n n 1 |
min |
|||||||||
A X |
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
– ограничения, где aij , bi R; i 1, m, j 1, n |
||||||||||
m n n 1 |
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 0 – естественные ограничения n 1
Каноническая форма задачи линейного программирования включает дополнительные переменные:
X T |
x |
x |
x |
0 |
д |
n 1 |
n 2 |
n m |
|
1 m |
|
|
|
|
С помощью данных переменных ограничения задачи (в канонической форме) представляются в виде линейных уравнений:
A X E X д B
m n n 1 m m m 1 m 1
Задача линейного программирования может:
не иметь решения;
иметь единственное решение – оптимальный план;
иметь бесчисленное множество решений, оптимальных планов.
97
6.2.Взаимно-двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности
Анализ двух взаимно-двойственных задач линейного программирования позволяет ответить на множество вопросов оптимального моделирования деятельности экономического объекта.
Первая задача: |
|
|
Вторая задача: |
|
|
||||||||
X T x |
x |
x |
? |
Y T y |
y y |
? |
|||||||
1 n |
1 |
2 |
n |
|
1 m |
|
|
1 |
2 |
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(план) |
|
|
|
|
(план) |
|
|
|
|
|
|
||
F ( X ) C X max |
|
Z (Y ) BT Y |
min |
|
|||||||||
|
1 n n 1 |
|
|
|
|
1 m m 1 |
|
|
|||||
(функция цели) |
|
|
(функция цели) |
|
|
||||||||
A X B |
|
|
AT Y CT |
|
|
|
|
||||||
m n n 1 |
|
m 1 |
|
|
n m m 1 |
n 1 |
|
|
|
||||
(ограничения) |
|
|
(ограничения) |
|
|
||||||||
X 0 |
|
|
|
|
Y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(естественные ограничения) |
(естественные ограничения) |
||||||||||||
Каноническая форма взаимно-двойственных |
задач |
включает |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнительные неотрицательные переменные |
|
X |
д |
, Y |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m 1 |
n 1 |
|
|
||||
X ? Xд ? |
|
|
Y ? Yд ? |
|
|
||||||||
n 1 |
m 1 |
|
|
m 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F ( X ) C X max |
|
Z (Y ) BT Y |
min |
|
|||||||||
|
1 n n 1 |
|
|
|
|
1 m m 1 |
|
|
|||||
A X |
E X д B |
|
AT Y E Y CT |
|
|||||||||
m n n 1 m m m 1 |
m 1 |
|
n m m 1 n n |
|
д |
n 1 |
|
||||||
|
|
n 1 |
|
||||||||||
X 0, X д 0 |
|
|
Y 0, Yд 0 |
|
|
||||||||
n 1 |
m 1 |
|
|
m 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для анализа взаимно-двойственных задач полезны теоремы двойственности, сформулированные далее.
Теорема 1. Взаимно-двойственные задачи линейного программирования, одновременно, либо не имеют решения, либо имеют, причем: max F min Z .
98
Теорема 2. |
Решения |
взаимно-двойственных |
|
задач |
линейного |
||||||||||||||||||||
программирования |
X o,Y o тогда и только тогда будут оптимальными, когда |
||||||||||||||||||||||||
выполняются следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a yo c |
|
|
|
|
|
|
|
yo |
|
a |
xo |
|
|
|
|
|
||||||||
xo |
0, j 1, n ; |
|
|
b 0, i 1, m |
|||||||||||||||||||||
j |
ij |
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
i |
|
ij |
|
j |
|
i |
|
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примечание. Между переменными взаимно-двойственных задач |
|||||||||||||||||||||||||
существует взаимно-однозначное соответствие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
X Yд , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x j ym j , |
j 1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
X д Y , т.е. xn i yi , |
|
|
i 1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Согласно теореме 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xo yo |
|
|
|
|
yo xo |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0, j 1, n ; |
|
0, i 1, m |
|
|
|||||||||||||||||||||
j |
m j |
|
|
|
|
|
|
|
i |
n i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 3. Для оптимальных решений взаимно двойственных задач |
|||||||||||||||||||||||||
линейного программирования |
X o,Y o |
при достаточно малых изменениях b |
|||||||||||||||||||||||
выполняется следующее свойство: F X o yo b , i |
|
|
|
i |
|||||||||||||||||||||
1, m |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
6.3.Примеры экономических задач, приводящих к моделям задач линейного программирования
Пример 1. Для выпуска двух видов продукции предприятие использует три вида ресурсов. Обозначения:
aij , i 1,3, j 1,2 – расход i - ого вида ресурсов на производство одной единицы j - ого вида продукции;
bi , i 1,3 – запас i - ого вида ресурсов;
cj , j 1,2 – прибыль от единицы j - ого вида продукции;
xj , j 1,2 – план выпуска j - ого вида продукции;
yi , i 1,3 – цена i - ого вида ресурсов; Известны:
|
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
2 |
|
(ед.) − нормы расхода ресурсов на производство продукции, |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
C 4 |
6 |
(д. е.) − прибыль от реализации одной единицы продукции, |
|||
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
22 |
|
(ед.) − запасы ресурсов у предприятия. |
||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
Составим экономико-математическую модель задачи определения плана выпуска продукции, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль:
|
x |
|
|
|
X 1 |
? – план выпуска продукции |
|||
2 1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
F C X 4x1 6x2 |
max – прибыль (функция цели) |
|||
|
1 2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
3x1 12x2 60 |
|
A X |
B |
|
|
|
2x1 2x2 22 – ограничения на ресурсы |
||||
3 2 |
2 1 |
3 1 |
|
2x2 7 |
|
|
|
|
X 0 – естественные ограничения
2 1
Каноническая форма задачи определения плана выпуска продукции, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль, включает дополнительные неотрицательные переменные:
X T |
x |
x |
x 0 |
− остатки ресурсов. |
д |
3 |
4 |
5 |
|
1 3 |
|
|
|
|
Ограничения задачи могут быть представлены с помощью дополнительных неизвестных в виде линейных уравнений:
|
|
3x1 12x2 x3 60 |
||
A X E X д |
B |
|
2x1 |
2x2 x4 22 |
|
||||
3 2 2 1 3 3 3 1 |
3 1 |
|
|
2x2 x5 7 |
|
|
|
|
Составим математическую модель и дадим экономическое толкование двойственной задачи:
Y T y |
y |
2 |
y |
? − цены ресурсов |
|||
1 3 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z BT Y |
60 y |
22 y |
7 y |
min |
|||
1 3 |
3 1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
затраты на имеющиеся на предприятии запасы ресурсов
AT Y CT |
|
3y |
2 y |
|
4 |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
||
2 3 3 1 |
2 1 |
|
12 y1 2 y2 2 y3 6 |
ограничения со стороны продавца ресурсов
Y 0 – естественные ограничения
3 1
100