![](/user_photo/_userpic.png)
лекции по физике, 4 семестр / физика лекция. 23.04
.docКафедра физики
Лекции по физике (2 курс)
Тула 2020
Лекция 23.04.2020 г.
Уравнение Шредингера
Нестационарное уравнение Шредингера
Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси х с определенным значением энергии Е и импульса р, описывается плоской волной де Бройля (4.16). Вычисляя производные от функции (4.16), находим:
.
(4.21)
Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции (4.5) или (4.9) представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:
(в
случае дискретного спектра), (4.22)
(в
случае непрерывного спектра). (4.23)
Но
уравнение квантовой теории, позволяющее
найти волновую функцию, должно иметь
одинаковую форму для любых состояний
(4.21) – (4.23). Если полная энергия Е
нерелятивистской частицы определена,
то она будет суммой потенциальной
энергии
и кинетической энергии
:
. (4.24)
Подставляя соотношения (4.21) в формулу (4.24), приходим к дифференциальному уравнению
. (4.25)
Оно называется нестационарным уравнением Шредингера и было предложено Э.Шредингером в 1927 г. для описания волновых свойств микрочастиц.
Реальная
частица движется в трехмерном пространстве,
и для ее описания надо использовать
волны де Бройля (4.17). Тогда
,
где
– дифференциальный оператор Лапласа,
и после подстановки в (4.24) получим
нестационарное уравнение Шредингера
в виде:
. (4.26)
Это
уравнение комплексно. Его решение, т.е.
волновая функция
,
описывающая поведение микрочастицы с
массой m
во внешнем поле, также может быть
комплексной. Для решения дифференциальных
уравнений (4.26) или (4.25) необходимо задать
начальное и граничные условия для
функции
.
Решив нестационарное уравнение Шредингера, можно найти зависимость волновой функции от времени, т.е. определить эволюцию квантовой системы со временем.
Стационарное уравнение Шредингера
Часто
встречаются системы, в которых частица
находится в состоянии с определенной
энергией
(например – электрон в атоме и т.п.).
Такие состояния называются стационарными.
В случае стационарных состояний уравнение
(4.26) допускает разделение переменных:
. (4.30)
Подставляя
(4.30) в уравнение (4.26) и разделив обе части
на произведение
,
получим:
(4.31)
Левая
и правая части уравнения (4.31) являются
независимыми
функциями разных переменных t
и
.
Они равны между собой только тогда,
когда равны некоторой константе, которую
легко определить, подставив связь (4.30)
в первое из соотношений (4.21):
,
откуда
и
. (4.32)
Из
формул (4.30) – (4.32) следует, что в стационарном
состоянии с определенным значением
энергии
зависимость волновой функции микрочастицы
от времени учитывается экспоненциальным
множителем:
. (4.33)
Плотность вероятности обнаружения частицы в стационарном состоянии, как следует из (4.33), не зависит от времени:
.
Волновая
функция
,
зависящая только от координат, является
решением стационарного
уравнения Шредингера.
. (4.34)
В случае одномерного движения вдоль оси х стационарное уравнение Шредингера приобретает вид:
. (4.35)
Поле
,
в котором находится частица, считается
известным. Уравнение Шредингера (4.34)
или (4.35) позволяет найти и волновую
функцию
частицы в заданном поле, и все разрешенные
значения ее полной энергии Е.
Для этого при решении дифференциального
уравнения Шредингера обязательно
надо задать граничные условия
для функции
или для плотности вероятности обнаружения
частицы
.
И вероятность
,
и волновая функция
должны
меняться
плавно, без скачков.
!!!!! Примеры решения задач можно посмотреть на сайте кафедры физики www.physics.tsu.ru в разделе "Самостоятельная работа студентов" п. 4.13 "Оптика. Основы квантовой физики. Руководство к проведению самостоятельной работы студентов" (авторы: Ю.Н. Колмаков и др.), стр. 50-58.