тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdfg ib ) = g(e) —{b, e}. Легко заметить, что g является отображением X на
X / ф. Для исходного отображения f (х) областью значений является множество / ( X ) = {2,4,5 }.
Рассмотрим соответствие h следующего вида: h : X / ср —>/ (X ), за данное равенствами: h({a,c}) = 2, h{{d}) = 4, h{{b,e}) = 5. Это соот
ветствие всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно, то есть h - биекция между множествами А' ф и f (X).
Рассмотрим, наконец, соответствие е : / (X ) —» Y , е(х) —х. Эго соот
ветствие всюду определено, функционально и инъективно, то есть е(х) является взаимно-однозначным отображением f ( X ) в 7.
Итак, исходное соответствие f (х) можно представить в виде ком позиции соответствий g,h и е. В построении этой композиции и заклю чается факторизация отображения f .
Задание 1.4.4
Для данного отношения Ф=({ 1,2,3,4,5}, G ) проделать следующее:
1.Изобразить Ф графом.
2.Достроить Ф до отношения эквивалентности, указать фактор-мно жество.
3.Достроить Ф до отношения частичного порядка, указать максималь ные, минимальные элементы, а также пары несравнимых элементов.
4.Достроить Ф до отношения линейного порядка, указать наибольший
инаименьший элементы.
5.Достроить Ф до отношения строгого порядка.
6.Достроить Ф до отношения строгого линейного порядка.
Замечание: отношение достраивается с помощью введения минимально необходимого числа дополнительных рёбер.
|
|
|
Таблица 1.4.4 |
№ |
G |
№ |
G |
1 |
(1,2), (3,2), (2,4) |
12 |
(1,2), (1,3), (3,2), (4,5) |
2 |
(2,1), (5,1), (4,2) |
13 |
(1,2), (2,3), (3,4), (5,5) |
3 |
(1,2), (3,4), (4,5) |
14 |
(4,3), (5,1), (1,2) |
4 |
(3,1), (2,5), (5,4) |
15 |
(1,3), (3,4), (1,4), (2,5) |
5 |
(1,5), (5,4), (4,3) |
16 |
(2,3), (4,3), (3,5) |
6 |
(2,3), (3,5), (5,1) |
17 |
(3,2), (1,2), (5,3) |
7 |
(1,2), (4,3), (4,5) |
18 |
(2,3), (4,5), (5,1) |
8 |
(3,5), (4,2), (1,2) |
19 |
(4,2), (3,1), (1,5) |
9 |
(1,2), (2,3), (2,4), (4,5) |
20 |
(2,1), (1,5), (5,4) |
10 |
(1,2), (2,3), (4,5), (5,3) |
21 |
(3,4), (4,1), (1,2) |
11 |
(1,2), (1,5), (1,4) |
22 |
(2,3), (5,4), (5,1) |
|
|
|
Таблица 1.4.4(окончание) |
|
№ |
G |
№ |
G |
|
23 |
(4,1), (5,3), (2,3) |
27 |
(3,4), (1,5), (5,2) |
|
24 |
(2,3), (4,5), (3,4), (1,1) |
28 |
(5,4), (4,3), (5,3), (2,1) |
|
25 |
(4,3), (3,1), (1,2) |
29 |
(2,4), (3,4), (4,1) |
|
26 |
(5,2), (2,4), (4,3), (1,1) |
30 |
(4,2), (5,2), (1,4) |
|
Пример решения задания 1.4.4 |
|
|
|
|
Решим задание для Ф = ({1,2,3,4,5}, |
|
|
|
|
{(1,2), |
(1,3), (5,4)}). |
|
|
|
Изобразим граф отношения Ф |
|
1 |
|
|
(рис. 1.4.4а): |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
Ц --------------------------------- |
• |
2. Достроим Ф до отношения экви |
Рис. 1.4.4а |
|
||
|
|
валентности Фр добавляя минимально возможное число рёбер, обозна чим график полученного отношения экви
валентности через ((]. Тогда Gj будет
4 |
5 |
с?— |
*0 |
Рис. 1.4.4в
иметь вид: {(1,2), (1,3), (5,4), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,1), (3,1), (4,5), (2,3),(3,2)}.
Изобразим граф отношения Ф, (рис. 1.4.4в):
Укажем фактор-множество для А = {1,2,3,4,5 } по отношению Ф;:
А/(р 1 = {{1,2,3},{4,5}}. Отметим, что индекс разбиения множества
Аравен 2.
3.Достроим Ф до отношения частичного порядка Ф2, обозначив график
этого отношения через G2.
G2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (1,3), (5,4)}.
Изобразим граф Ф2 (рис. 1.4.4с):
Минимальными элементами здесь яв ляются 1 и 5, максимальными элемента ми - 2, 3 и 4.
4
Пары несравнимых элементов: {1,4},{1,5}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {2,3}.
Рис. 1.4.4с
4. Достроим Ф до отношения линей ного порядка Ф3, обозначив график
этого отношения через G3.
Изобразим граф отношения Ф
(рис. 1.4.4d):
Рис. 1.4.4d
Наибольшим элементом здесь является 3, а наименьшим - 5.
5. Само исходное отношение Ф является отношением строгого порядка, так что достраивать его нет необходимости.
6. Достроим Ф до отношения строгого линейного порядка Ф4, обозначив график этого отношения через G4.
G4 =G3 \Aa ={(5,4),(5,1),(5,2),(5,3),(4,1),(4,3),(4,3),(1,2),(1,3),(3,2)}.
Изобразим граф отношения Ф4 (рис. 1.4.4е):
Задание выполнено
Рис. 1.4.4е
Глава 2. Булевы функции
2.1 Булевы функции. Суперпозиции
Булевой функцией (сокращенно бф) называется функция вида
/ : Е п —>Е, где Е —{ОД}, т.е. / ( х , ,х2,..х п ), принимающая значения
О, 1 и аргументы которой могут принимать значения 0, 1.
Множество всех булевых функций будем обозначать через Р2.
В таблице, задающей бф, наборы значений переменных пишут в опре деленном порядке - лексикографическом, который совпадает с порядком
возрастания наборов, рассматриваемых как числа в двоичной системе счисления.
Булевы функции, заданные таблицами 2.1а, 2.1в, будем считать элемен тарными.
Используются обозначения:
|
|
|
|
Таблица 2.1а |
gj (х) = 0 |
- константа О |
|||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8i |
|
8 2 |
&з |
8 4 |
g 2 |
(х) = 1 |
- константа 1 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|||||||||
|
|
g 3 |
(х ) = х |
- тождественная функция |
|||||||||||
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g 4 |
(х) = х |
- отрицание |
|
||||
Для отрицания употребляется также обозначение |
—ос. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1в |
X У |
А Л /з Л / 5 /б f l |
Л /9 |
/ю |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
/| (х, I’) = х ■I’ |
- |
конъюнкция, |
употребляются |
|
также обозначения |
||||||||||
х л у |
и |
х &у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f 2 |
(x,y) = x \ / y |
-дизъюнкция |
f 3 |
(x, у) = х —» у |
- импликация |
||||||||||
/ 4(х, _у) = |
—> х |
- импликация |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f 5 |
(x,y) = х +у |
- сложение по модулю два |
|
|
|
|
|||||||||
f 6 |
(х, у) = х |
у |
- эквиваленция |
|
f 1 (x,y) = x\ y |
- штрих Шеффера |
|||||||||
f%{x,y) = x i у |
- стрелка Пирса f)(x, у) = х -/> у |
- запрет |
|||||||||||||
f \о(х>У) = У |
х ~ запрет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Наборы и и v |
значений переменных называются соседними по i - той |
||||||||||||||
переменной, если они отличаются только |
/ - той координатой, то есть |
||||||||||||||
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = (flj,а2,..а г-1,0,а1+1,...,а„), v = (аг,а2,..a t_r,1,а1+1,...,ап).
Переменная |
х, |
называется фиктивной переменной бф / |
если для лю |
|
бых наборов |
и, v соседних по / - той переменной, выполняется равен |
|||
ство Д и ) = / 0 ) . |
|
|
||
Переменная х;- |
называется существенной переменной бф / |
если суще |
||
ствуют хотя бы одна пара u,v |
наборов значений переменных, соседних |
|||
по / - той |
переменной, |
такая, что справедливо неравенство |
||
Суперпозицией функций |
называется бф, полученная с помо |
щью подстановок этих функций друг в друга на места переменных, а также с помощью переименования переменных. Выражение, описы
вающее суперпозицию, |
называется формулой. |
||||
Некоторые основные равносильности: |
|||||
х - у = у - х |
|
1 |
коммутативные законы |
||
|
|
>■- |
|||
х v У = У v х I |
|
|
|||
x - ( y - z ) = ( x - y ) - z |
] |
||||
|
|
|
|
ассоциативные законы |
|
x v ( y v z ) = ( x v y ) v z J |
|||||
x - ( y v z) = ( x - y)v(x - z) |
|||||
XV (у ■z) - |
|
|
|
■дистрибутивные законы |
|
(x V y) ■(x v z ) |
|||||
х- х = х |
|
-законы идемпотентности |
|||
X V X = X |
|
||||
|
|
|
|
||
х - 0 = 0 |
|
х-1 = х |
1 |
||
х v 0 = х |
|
|
|
> - тождества с константами |
|
|
XV1 = 1 |
||||
x - ( x v j ) |
= |
х | |
|
|
|
X V (х • у ) = X J |
■законы поглощения |
||||
Х -у = X V |
у \ |
- законы де Моргана |
|||
XV у = X -у |
I |
||||
|
|
||||
х v х = 1 |
- закон исключённого третьего |
x ■x —О - закон противоречия
х= х . закон двойного отрицания
x- y v x —y v x - правило вычёркивания
Задание 2.1.1
Построить таблицу данной булевой функции f (х, у, z)
|
|
|
Таблица 2.1.1 |
№ |
f ( x , y , z ) |
№ |
f ( x , y , z ) |
1 |
х +у л г —>xv z |
5 |
x v y —>z +y |
2 |
(х \у) —» Z л у + X |
6 |
X V у —> z л у |
3 |
(х —>■у) + Z V X |
7 |
(х i у) V X —» Z |
4 |
X V у + z <-> у |
8 |
(х л у —> z ) v x +y |
Таблица 2.1.1(окончание)
№f ( x , y , z )
9(х \у) Л Z —» J V X
10(х —» J л z) + X
11XVJ AZ - ^ х л у
12(x + y) + (z v х)
13X V у + z —>■у
14(х 4' у ) + Z V X
15( x v y ^ z ) +y
№f ( x , y , z )
20 |
(х \у) Л Z V X |
|
21(x^>y) + z + * y
22(х -1 у) <r^ Z + у
23( x v y ) + z ^ y
24х л у + Z —> X
25(x + ( y i z ) ) + y
26х —>y v y + z
16 |
х < - > у + Z V у |
27 |
( X |
| j ) + ( y - > Z |
A l ) |
|
17 |
X V у Л Z + у |
28 |
I - |
> y A ( l V J |
|
+ z ) |
18 |
(х + у) Л Z V X |
29 |
У + Z O Z A I V I |
|||
19 |
( x ^ y ) + ( z v y ) |
30 |
Х А J — » Z |
J + Z |
||
|
|
Пример решения задания 2.1.1
Построить таблицу булевой функции, заданной формулой
f ( X,y,Z) = X —>■у A Z V — iX
Выпишем в таблицу под символами переменных все наборы значений, которые эти переменные принимают, а под символами булевых опера ций будем выписывать значения функций, соответствующие этим набо рам.
Для наглядности сверху проставим числа, указывающие порядок вы полнения действий, а снизу с помощью стрелок покажем, над какими столбцами производятся действия и куда пишется результат выполне ния этих действий. Самой булевой функции f ( x , y , z ) будет соот
ветствовать столбец, обведённый двойной рамкой.
4 |
2 |
3 |
1 |
X |
- > |
У |
A |
z |
V —1 X
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Итак, мы нашли, что исходная формула задаёт булеву функцию f (х, у, z), имеющую вектор значений (1111 0001).
Задание 2.1.2
Написать таблицу функции h(x, у), являющейся суперпозицией функ
ций f nи f k, если f x =(1001 0111), / 2 =(0110 1011),
/ 3 =(1110 0110), / 4 =(0111 0011), / 5 =(1100 0111),
/ 6 =(1001 0100), / 7 =(1011 0101), / 8 =(1000 0110),
Уд = (1010 0110), / 10 = (0Ю11000).
Таблица 2.1.2
№ |
и |
£ |
h(x,y) |
1 |
1 |
2 |
fn(x>fk(x>x>y)>y) |
2 |
2 |
1 |
/п(х’/к(У’х’У)’х) |
3 |
1 |
2 |
fn(yJk(.x>y>x)’x) |
4 |
3 |
5 |
Л (х’/к(У’х’У)’У) |
5 |
3 |
2 |
fn(yJk(.x>y>x)’x) |
6 |
4 |
3 |
Л (х’/к(У’У’х)’У) |
7 |
2 |
3 |
fn(x>fk(x>y>y)>y) |
8 |
5 |
2 |
fn(y>x>fk(x>x>y)) |
№ |
п |
к |
h(x,y) |
17 |
1 |
8 |
fn(y>fk(x>y>x)>y) |
18 5 |
9 |
/п(х’/к(У’х’х)’У) |
|
19 |
5 |
10 |
fniy>fkix>y>x)>x) |
20 10 9 |
/п(х’/к(х’х’У)’У) |
||
21 10 |
5 |
/п(/к(х’х’У)’У’х) |
|
22 |
7 |
9 |
fn(fk(y>y>x)>x>y) |
23 8 |
7 |
Л (/к (х’У’У)’У’х) |
№ |
п |
к |
h(x, у) |
9 |
5 |
4 |
1п(1к(х’У’У)’х’У) |
10 |
3 |
2 |
/п(х’х’/к(х’У’У)) |
11 |
4 |
3 |
fn(x>y>fk(y>x>y)) |
12 |
2 |
4 |
Л (х’/к(х’У’У)’У) |
13 |
5 |
1 |
М х’У’1к(У’х’хЪ |
14 |
9 |
8 |
Л(У’У’/к(х’У’х)) |
15 |
7 |
5 |
fn(x>y>fk(x>y>y)) |
16 |
8 |
7 |
/п(х’х’/к(У’х’У)) |
|
|
|
Таблица 2.1.2(окончание) |
№ |
и |
£ |
h(x,y) |
24 |
7 |
8 |
/ п(/к(х’У’х)’х’У) |
25 |
6 |
7 |
Jn(fk(y>y>x)>y>x) |
26 |
9 |
2 |
Л (х’/к(У’У’х)’У) |
27 |
2 |
10 |
/п(х’У’/к(х’У’х)) |
28 |
3 |
9 |
/п(/к(У’У’х)’х’х) |
29 |
10 7 |
/п(У’х’/к(х’У’х)) |
|
30 |
8 |
3 |
Л (х’/к(У’У’х)’У) |
Пример решения задания 2.1.2
Написать таблицу функции |
h(x, у) =/ 2(у, у, |
Сначала запишем таблицу |
функций /, и |
/ 2 (табл. 2.1.2а): |
|
Составим таблицу функции |
h(x, у). Для этого |
запишем формулу, задающую функцию h(x, у),
выпишем под символами переменных все на боры значений, которые эти переменные при нимают, а под символами булевых функций будем выписывать значения функций, соответ ствующие этим наборам.
Заключительный столбец, задающий функцию
h, обведём двойной рамкой. |
|
|
|
|||||
х, у)= / 2( у, |
у, / х( х, у, |
х) |
||||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Итак, |
Ых,у) = (1111). |
|
|
|
|
|
Задание 2.1.3
Для данной функции f (х, у. z )
(х, у, х)).
Таблица 2.1.2а
xyz |
Л |
/2 |
|
||
000 |
l |
0 |
001 |
0 |
1 |
010 |
0 |
1 |
011 |
1 |
0 |
100 |
0 |
1 |
101 |
1 |
0 |
110 |
1 |
1 |
111 |
1 |
1 |
1.Выяснить, какие её переменные являются существенными, а какие - фиктивными.
2.Выразить f ( x , y , z ) формулой, содержащей только существенные пе
ременные.
Таблица 2.1.3
№ |
f ( x , y , z ) |
№ |
f ( x , y , z ) |
№ |
f ( x , y , z ) |
1 |
10111011 |
11 |
01010000 |
21 |
1010 0101 |
2 |
00111100 |
12 |
1100 1100 |
22 |
0011 0011 |